Нами проведен анализ мнений юристов по сути Вашего запроса, в результате чего мы пришли к следующему выводу:

Согласно ст. 124 ТК РФ ежегодный оплачиваемый отпуск должен быть продлен в случаях временной нетрудоспособности работника. Однако данное правило не действует в случаях оформления отпуска с последующим увольнением (Письмо Роструда от 24.12.2007 N 5277-6-1). 

Положения ст. 81 ТК РФ о недопустимости увольнения работника в период его временной нетрудоспособности и в период пребывания в отпуске распространяются только на случаи увольнения по инициативе работодателя (за исключением случая ликвидации организации либо прекращения деятельности индивидуальным предпринимателем). Расторжение же срочного трудового договора регулируется специальной нормой - ст. 79 ТК РФ - и такого запрета не содержит.

В силу специальной нормы ч. 3 ст. 127 ТК РФ при увольнении в связи с истечением срока трудового договора отпуск с последующим увольнением может предоставляться и тогда, когда время отпуска полностью или частично выходит за пределы срока этого договора. В этом случае днем увольнения также считается последний день отпуска. Это не противоречит иным нормам ТК РФ и не является расторжением срочного трудового договора за пределами его срока.

Если работник предъявил больничный после увольнения, не нужно вносить изменения в приказ об увольнении (в части даты). Как разъяснил Верховный Суд РФ, после прекращения трудовых отношений работодатель уже не вправе предпринимать юридически значимые действия в отношении бывшего работника без его согласия (Определение ВС РФ от 25.01.2008 N 5-В07-170).

Оплата больничного, начало которого приходится на период действия трудового договора, производится в общем порядке, однако, в связи с тем, что отпуск на время больничного не продлевается, то нельзя допускать двойной оплаты за дни больничного, приходящихся на время отпуска.